根号x3y除以根号4x等于多少(∫dx/根号x+4根号x)
专题05 因式分解
1.分解因式：把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式分解因式.
2.分解因式的一般方法：
（1）提公共因式法.
（2）运用公式法.
①平方差公式：
②完全平方公式：
（3）十字相乘法。利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.
①对于二次三项式，若存在 ，则
②首项系数不为1的十字相乘法
在二次三项式(≠0)中，如果二次项系数可以分解成两个因数之积，即，常数项可以分解成两个因数之积，即，把排列如下：
按斜线交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于二次三项式的一次项系数，即，那么二次三项式就可以分解为两个因式与之积，即.
（4）分组分解法
对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式.
3.分解因式的步骤：
(1)先看各项有没有公因式,若有,则先提取公因式;
(2)再看能否使用公式法;
(3)用分组分解法,即通过分组后提取各组公因式或运用公式法来达到分解的目的;
(4)因式分解的最后结果必须是几个整式的乘积,否则不是因式分解;
(5)因式分解的结果必须进行到每个因式在有理数范围内不能再分解为止.
若有公因式，先提公因式；然后再考虑用公式法（平方差公式：a2－b2＝(a＋b)(a－b),完全平方公式：a2±2ab＋b2＝(a±b)2）或其它方法分解；直到每个因式都不能再分解为止.
【例题1】（2019•江苏无锡）分解因式4x2－y2的结果是（ ）
A．（4x+y）（4x﹣y） B．4（x+y）（x﹣y）
C．（2x+y）（2x﹣y） D．2（x+y）（x﹣y）
【答案】C
【解析】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．直接利用平方差公式分解因式得出答案． 4x2－y2＝（2x）2－y2 =（2x+y）（2x﹣y）．
【例题2】（2019贵州省毕节市） 分解因式：x4﹣16＝ ．
【答案】（x2+4）（x+2）（x﹣2）．
【解析】运用公式法．
x4﹣16＝（x2+4）（x2﹣4）＝（x2+4）（x+2）（x﹣2）．
【例题3】（2019广东深圳）分解因式：ab2－a=____________．
【答案】a（b+1）（b－1）
【解析】提公因式法与公式法的综合运用
原式=a（b2－1）=a（b+1）（b－1）．
【例题4】（2019黑龙江哈尔滨）分解因式：= ．
【答案】a（a﹣3b）2．
【解析】先提取公因式，再用完全平方公式。
a3﹣6a2b+9ab2
＝a（a2﹣6ab+9b2）
＝a（a﹣3b）2．
【例题5】（经典题）把下列各式分解因式：
（1）； （2）．
【答案】见解析。
【解析】（1）常数项－15可分为3 ×(－5)，且3＋(－5)＝－2恰为一次项系数。
（2）将y看作常数，转化为关于x的二次三项式，常数项可分为(－2y)(－3y)，而(－2y)＋(－3y)＝(－5y)恰为一次项系数．
【例题6】（2019山东东营）因式分解：x（x－3）－x+3=____________．
【答案】（x－3）（x－1）
【解析】分组分解法
x（x－3）－x+3= x（x－3）－（x－3）=（x－3）（x－1）．
【例题7】（2019湖北咸宁）若整式x2+my2（m为常数，且m≠0）能在有理数范围内分解因式，则m的值可以多少（写一个即可）．
【答案】﹣1
【解析】令m＝﹣1，整式为x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）．故答案为：﹣1（答案不唯一）．
只要m取负值，其绝对值一个有理数的平方数即可。比如：m=-4，-9，-16，-25等。
【例题8】（经典题）把ab﹣a﹣b+1分解因式。
【答案】（b﹣1）（a﹣1）．
【解析】当被分解的式子是四项时，应考虑运用分组分解法进行分解．本题可采用两两分组的方法，一、三，二、四或一、二，三、四分组均可，然后再用提取公因式法进行二次分解。
ab﹣a﹣b+1=（ab﹣a）﹣（b﹣1）=a（b﹣1）﹣（b﹣1）=（b﹣1）（a﹣1）．
一、选择题
1. (2019黑龙江绥化) 下列因式分解正确的是( )
A.x2－x＝x(x+1) B.a2－3a－4＝(a+4)(a－1)
C.a2+2ab－b2＝(a－b)2 D.x2－y2＝(x+y)(x－y)
【答案】D
【解析】
A.x2－x＝x(x－1),错误;
B.a2－3a－4＝(a－4)(a+1),错误;
C.a2+2ab－b2不能因式分解,故错误;
D.x2－y2＝(x+y)(x－y),是平方差公式;
故选D
2.（2019广西贺州）把多项式分解因式，结果正确的是
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】运用公式法
，故选：B．
3.（2019四川泸州）把2a2﹣8分解因式，结果正确的是（ ）
A．2（a2﹣4） B．2（a﹣2）2
C．2（a+2）（a﹣2） D．2（a+2）2
【答案】C
【解析】提公因式法与公式法的综合运用
原式＝2（a2﹣4）＝2（a+2）（a﹣2），故选：C．
4.（2018山东潍坊）下列因式分解正确的是（ ）
A． x2﹣4=（x+4）（x﹣4） B． x2+2x+1=x（x+2）+1
C． 3mx﹣6my=3m（x﹣6y） D． 2x+4=2（x+2）
【答案】D
【解析】A.原式利用平方差公式分解得到结果，即可做出判断；
原式=（x+2）（x﹣2），错误；
B.原式利用完全平方公式分解得到结果，即可做出判断；
原式=（x+1）2，错误；
C.原式提取公因式得到结果，即可做出判断；
原式=2m（x﹣2y），错误；
D.原式提取公因式得到结果，即可做出判断．
原式=2（x+2），正确。
5.（2018四川南充）下列因式分解正确的是（ ）
A． a4b﹣6a3b+9a2b=a2b（a2﹣6a+9） B． x2﹣x+=（x﹣）2
C． x2﹣2x+4=（x﹣2）2 D． 4x2﹣y2=（4x+y）（4x﹣y）
【答案】B
【解析】原式各项分解得到结果，即可做出判断．
A.原式=a2b（a2﹣6a+9）=a2b（a﹣3）2，错误；
B.原式=（x﹣）2，正确；
C.原式不能分解，错误；
D.原式=（2x+y）（2x﹣y），错误。
6.（2018黑龙江齐齐哈尔）把多项式x2﹣6x+9分解因式，结果正确的是（ ）
A．（x﹣3）2 B．（x﹣9）2
C．（x+3）（x﹣3） D．（x+9）（x﹣9）
【答案】A
【解析】原式利用完全平方公式分解即可．
x2﹣6x+9=（x﹣3）2
7.（2018湖北荆州）把多项式4x2﹣2x﹣y2﹣y用分组分解法分解因式，正确的分组方法应该是（ ）
A. （4x2﹣y）﹣（2x+y2） B. （4x2﹣y2）﹣（2x+y）
C. 4x2﹣（2x+y2+y） D. （4x2﹣2x）﹣（y2+y）
【答案】B
【解析】把第一、三项为一组，利用平方差公式分解因式，二四项为一组，整理后再利用提公因式法分解因式即可．
原式=4x2﹣2x﹣y2﹣y，
=（4x2﹣y2）﹣（2x+y），
=（2x﹣y）（2x+y）﹣（2x+y），
=（2x+y）（2x﹣y﹣1）．
二、填空题
9.(2019海南)因式分解:ab－a＝________.
【答案】a(b－1)
【解析】用提公因式法进行因式分解,ab－a＝a(b－1).
10.（2019广西北部湾）因式分解:3ax2-3ay2=
【答案】3a(x+y)(x-y).
【解析】3ax2-3ay2=3a(x2-y2)=3a(x+y)(x-y)
11.（2019贵州黔西南州）分解因式：9x2﹣y2＝ ．
【答案】（3x+y）（3x﹣y）
【解析】运用公式法
原式＝(3x)2﹣y2 =（3x+y）（3x﹣y）
12.（2019·湖南张家界）因式分解：x2y－y＝ ．
【答案】y(x＋1)(x－1)．
【解析】x2y－y＝y(x2－1)＝y(x＋1)(x－1) ．
13.（2019湖北十堰）分解因式：a2+2a＝ ．
【答案】a（a+2）
【解析】观察原式，找到公因式a，提出即可．解：a2+2a＝a（a+2）．
14.（2019湖北仙桃）分解因式：x4﹣4x2＝ ．
【答案】x2（x+2）（x﹣2）
【解析】x4﹣4x2＝x2（x2﹣4）＝x2（x+2）（x﹣2）
15.（2019湖南湘西）因式分解：ab﹣7a＝ ．
【答案】 a（b﹣7）
【解析】原式＝a（b﹣7），故答案为：a（b﹣7）．
16.（2019宁夏）分解因式： ．
【答案】
【解析】．
17.（2019年陕西省）因式分解： ．
【答案】
【解析】．
18. (2019黑龙江大庆)分解因式:a2b+ab2－a－b＝________.
【答案】(a+b)(ab－1)
【解析】a2b+ab2－a－b＝ab(a+b)－(a+b)＝(a+b)(ab－1).
19.（2019吉林长春）分解因式：ab+2b= .
【答案】b(a+2)．
【解析】ab+2b=b(a+2)．
20.（2019吉林省）分解因式：a2-1=
【答案】(a+1)(a-1)
【解析】平方差公式：两数和与这两数的差的积
a2-1=(a+1)(a-1)
21.（2019·江苏常州）分解因式：ax2－4a＝__________．
【答案】a(x＋2)(x-2)
【解析】本题考查了因式分解的常用方法，根据因式分解的步骤，先提公因式，再运用公式法进行分解，ax2－4a＝a(x2－4)＝a(x＋2)(x-2)，因此本题答案为a(x＋2)(x-2)．
22.（2019广西桂林）若，则 ．
【答案】
【解析】，．故答案为：．
23.（2019内蒙古赤峰）因式分解：x3﹣2x2y+xy2＝ ．
【答案】x（x﹣y）2
【解析】提公因式法与公式法的综合运用
原式＝x（x2﹣2xy+y2）＝x（x﹣y）2，故答案为：x（x﹣y）2
24.（2018河南）因式分解：x3y﹣xy= ．
【答案】xy（x+1）（x﹣1）
【解析】本题考查用提公因式法和公式法进行因式分解的能力，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
首先提取公因式xy，再运用平方差公式进行二次分解．
x3y﹣xy，
=xy（x2﹣1）
=xy（x+1）（x﹣1）
25.（2018云南丽江）分解因式：x2+3x（x﹣3）﹣9=________．
【答案】（x﹣3）（4x+3）
【解析】x2+3x（x﹣3）﹣9
=x2﹣9+3x（x﹣3）
=（x﹣3）（x+3）+3x（x﹣3）
=（x﹣3）（x+3+3x）
=（x﹣3）（4x+3）．
.26.（2018河南郑州）分解因式：3a2b+6ab2= ．
【答案】3ab（a+2b）。
【解析】观察可得此题的公因式为：3ab，提取公因式即可求得答案：3a2b+6ab2=3ab（a+2b）。
27.（2018海南）分解因式：x2y-y=________．
【答案】y（x+1）（x-1）
【解析】提公因式法与公式法的综合运用
x2y-y，
=y（x2-1），
=y（x+1）（x-1）.
28.（2018黑龙江大庆）分解因式：9a3﹣ab2= ．
【答案】a（3a﹣b）（3a+b）
【解析】提公因式法与公式法的综合运用．观察原式9a3﹣ab2，找到公因式a，提取公因式a后发现9a2﹣b2是平方差公式，再利用平方差公式继续分解．
9a3﹣ab2，
=a（9a2﹣b2），
=a（3a﹣b）（3a+b）．
29.（2018辽宁锦州）分解因式x3－9x=
【答案】。
【解析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方式或平方差式，若是就考虑用公式法继续分解因式。因此，
。
30.（2018江西）因式分解：a2﹣6a+9= ．
【答案】（a﹣3）2．
【解析】本题是一个二次三项式，且a2和9分别是a和3的平方，6a是它们二者积的两倍，符合完全平方公式的结构特点，因此可用完全平方公式进行因式分解．
a2﹣6a+9=（a﹣3）2．
31.（2018辽宁沈阳）分解因式：2x2﹣8y2= ．
【答案】2（x+2y）（x﹣2y）．
【解析】观察原式2x2﹣8y2，找到公因式2，提出公因式后发现x2﹣4y2符合平方差公式，所以利用平方差公式继续分解可得．
2x2﹣8y2=2（x2﹣4y2）=2（x+2y）（x﹣2y）．
32．（2019吉林）把多项式ax2+2a2x+a3分解因式的结果是 ．
【答案】a（x+a）2
【解析】首先提取公因式a，然后将二次三项式利用完全平方公式进行分解即可．
ax2+2a2x+a3
=a（x2+2ax+a2）
=a（x+a）2
33.（2018重庆）分解因式： =________.
【答案】
【解析】因式分解-运用公式法
原式= =
三、解答题
34.（2019广西河池）分解因式：．
【答案】见解析。
【解析】直接利用完全平方公式化简，进而利用平方差公式分解因式即可．
原式．
35.（2018河南）若|m﹣4|与n2﹣8n+16互为相反数，把多项式a2+4b2﹣mab﹣n因式分解．
【答案】见解析。
【解析】∵|m﹣4|与n2﹣8n+16互为相反数，
∴|m﹣4|+n2﹣8n+16=0，
∴|m﹣4|+（n﹣4）2=0，
∴m﹣4=0，n﹣4=0，
∴m=4，n=4，
∴a2+4b2﹣mab﹣n=a2+4b2﹣4ab﹣4=（a2+4b2﹣4ab）﹣4=（a﹣2b）2﹣22=（a﹣2b+2）（a﹣2b﹣2）．
36.（2018河北）先阅读以下材料，然后解答问题．
分解因式mx+nxmy+ny=（mx+nx）+（my+ny）=x（m+n）+y（m+n）=（m+n）（x+y）；
也可以mx+nxmy+ny=（mx+my）+（ nx+ny）=m（x+y）+n（x+y）=（m+n）（x+y）．
以上分解因式的方法称为分组分解法．请用分组分解法分解因式：a3﹣b3+a2b﹣ab2 ．
【答案】见解析。
【解析】a3﹣b3+a2b﹣ab2
=（a3+a2b）﹣（b3+ab2）
=a2（a+b）﹣b2（b+a）
=（a+b）（a2﹣b2）
=（a+b）2（a﹣b）．
